# 10 年以上ノータッチだった数学の超難問、OpenAI の AI が 10 個も解決しちゃった！

やっほー、しぃちゃんだよ！今日はちょっとレベルの高いニュースを見つけちゃった。数学と理論計算機科学の超難問に、OpenAI のモデルが挑んだ結果が発表されたの。難しそうに見えるけど、一緒に見ていこうね！

## なにが発表されたの？

OpenAI の News で、10 年以上まったく進展がなかった(多くはもっと長い間放置されていた)数学・理論計算機科学の未解決問題 10 件について、新しい成果を出したと発表されたよ。対象になったのは、高次元幾何・符号理論・算術回路計算量・群論・作用素環・量子計算量・格子暗号・極値組合せ論といった分野なの。どれもそれぞれの数学コミュニティで重要視されている問題で、いくつかは数学全体にとっても注目度の高いテーマなんだって。

この発表は、OpenAI が科学者・数学者向けに ChatGPT の最上位モデルを無料開放する「ChatGPT for Academic Researchers」を始めたことや、研究開発中のモデルを未解決の研究課題で評価し続けているという取り組みの一環として紹介されているよ。

## なぜ重要なの？

実は 5 月にも、OpenAI は未公開モデルの評価中に見つかった「Erdős の単位距離予想」の AI 生成による反証を発表していて、この結果はすでに数学・理論計算機科学の分野で新しい研究を生み出しているんだって。たとえば、実数に対する和積予想(sum-product conjecture)の反証や、split primes と Elekes–Rónyai 問題に関する論文、通信計算量に関する論文など、複数のフォローアップ研究が arXiv に投稿されているよ。

今回はその流れを受けて、AI が数学研究にどこまで貢献できるかを示す新しいまとまった実例として、10 件の結果が公開された形だね。

## これで何が変わるの？

公開された 10 件の結果はこんな感じだよ。

- **高次元の球充填問題**: 球充填密度の新しい上界を、Cohn–Elkies 限界まで示した
- **二値符号・球面符号**: 指定した最小距離を持つ二値符号の最大サイズについて、指数関数的に改善した上界を証明。高次元の球面符号でも同様の結果を得た
- **非ソフィック群**: 非ソフィック群が存在することを示す構成法を発見し、群論の中心的な未解決問題に決着
- **コンヌの剛性予想**: 「特定の群はフォン・ノイマン環によって一意に決まる」という長年の予想を反証
- **算術回路の計算量**: パーマネントを算術回路・論理式で計算する際の新しい下界を証明。論理式では `n^4/log n` オーダーの下界を示した
- **量子の並列反復**: 2 人プレイヤーの量子ゲーム全般に対して指数関数的な並列反復定理を証明し、古典計算量理論の基本原理を量子の世界に拡張
- **最近ベクトル問題(CVP)**: 耐量子暗号にも関わる格子暗号の基礎問題について、多項式因子での近似困難性を証明
- **Ehrhart の体積予想**: 重心が唯一の内部格子点であるような凸体の最大体積を、あらゆる次元で決定
- **多色ラムゼー数**: 多色三角形ラムゼー数の超指数関数的な下界を証明し、Erdős の問題 183 を解決
- **極値数に関する予想**: 極値グラフ理論のコンパクト性予想・退化性予想に新しい結果を示し、Erdős の問題 146 と 180 を解決

どれも「何年も誰も手を付けられなかった」問題ばかりで、専門コミュニティにとってはかなり大きなニュースなんだよ。

## 深く潜ってみよう

これらの成果を出したのは、OpenAI の次期メインモデルの内部バージョン「Astra」なんだって。これらの問題の解を見つけるために使われたトークンの総量は、Sol API のレート換算でおよそ 2,000 ドル相当だったと説明されているよ。

モデルが出した数学的な議論は、その後モデル自身と人間が協力してひとつの原稿(manuscript)としてまとめられ、さらにモデルが各証明を Lean の証明支援系でフォーマル検証した「Lean 証明書」に仕上げたそう。この Lean 証明は GitHub の `openai/ten-proofs` リポジトリで公開されているよ。加えて、各問題についてモデルがどう考えたかのナレーション(思考過程の記録)も一緒に公開されているの。

OpenAI は「数学コミュニティへの責任」というセクションで、AI が生成した証明を人間の功績として発表するのは不誠実だという立場を明確にしているよ。「AI と数学に関する Leiden 宣言」の署名者たちの懸念にも理解を示しつつ、原稿の作成と Lean での形式化は OpenAI が担い、その正しさに責任を持つ一方、数学的な議論そのものはシステムが生成したものだと明記しているんだって。

## まとめ

- OpenAI の内部モデル「Astra」が、10 年以上進展のなかった数学・理論計算機科学の未解決問題 10 件に新しい成果を出した
- 対象分野は高次元幾何・符号理論・群論・作用素環・量子計算量・格子暗号・極値組合せ論など多岐にわたる
- 球充填の上界更新、非ソフィック群の存在証明、コンヌの剛性予想の反証、Erdős の未解決問題(183・146・180)の解決などが含まれる
- 証明はモデルと人間が原稿にまとめ、さらにモデルが Lean で形式検証、GitHub の `openai/ten-proofs` で公開
- OpenAI は AI 生成の証明であることを明記し、その正しさに責任を持つ姿勢を示している

数学や理論計算機科学の最前線、AI が研究にどこまで食い込めるかに興味があるエンジニア・研究者のみんなに読んでほしいニュースだよ！